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Matemática 51
2024
ROSSOMANDO
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA ROSSOMANDO
5.
Hallar $f^{-1}(x)$. Dar dominio e imagen.
c) $f(x)=e^{-x}$
c) $f(x)=e^{-x}$
Respuesta
Primero hallemos la inversa. Acordate que podés hacer el cambio de variable al comienzo (y en ese caso despejar $y$) o al final (y en ese caso despejar $x$). Ambas formas son válidas, de hecho, son lo mismo, pero sé que hay profes que lo hacen de diferente forma, por eso te lo aclaro.
$
\begin{gathered}
y=e^{-x} \\
\ln (y)=-x \\
-\ln (y)=x \\
-\ln (x)=y^{-1}
\end{gathered}
$
Hallemos el dominio de la inversa:
Tenemos la restricción de dominio
$x>0$
$Domf^{-1}=(0 ;+\infty)$
Hallemos la imagen de la inversa:
La imagen de la función inversa será el dominio de la función original, que por ser una exponencial (y no presentar resitricciones de dominio) diremos que son todos los números reales.
$Imf^{-1} = Domf^{1} = \Re$